MAS291 - Mathematical Analysis

• Descriptive statistics (thống kê mô tả): Tóm tắt, trình bày dữ liệu bằng các đồ thị, bảng biểu và các đại lượng đặc trưng.
• Inferential statistics (thống kê suy luận): Mô tả, suy đoán tính chất một tổng thể dựa trên 1 mẫu, sử dụng trong việc kiểm định giả thuyết và ước lượng tham số.

• Data: Thông tin từ quan sát, đo lường.
• Population: Tổng thể nghiên cứu.
• Parameter: Đặc trưng của Population.
• Sample: Tập con của Population.
• Statistic: Đặc trưng của Sample, ước lượng Parameter.
• => Chúng ta sử dụng Statistic (Sample) để suy luận Parameter (Population).
• VD: Xác định tỉ lệ lỗi các sản phẩm (Population) trong quá trình sản xuất, ta lấy 300 sản phẩm (Sample) để kiểm tra.

• Qualitative data (dữ liệu định tính): Không thể đo lường bằng số, như màu sắc, loại vật liệu, ...
• Quantitative data (dữ liệu định lượng): Có thể đo lường bằng số, như chiều cao, trọng lượng, ...
• Discrete data (dữ liệu rời rạc): Có thể đếm được, như số lượng sản phẩm lỗi, số lần thử nghiệm, ...
• Continuous data (dữ liệu liên tục): Có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng, như thời gian, nhiệt độ, ...

• Observational study: Nghiên cứu quan sát không can thiệp vào đối tượng.
  • VD: Quan sát hành vi ăn uống của học sinh trong căng tin mà không thay đổi thực đơn hoặc môi trường.
• Experiment: Nghiên cứu có can thiệp và kiểm soát các yếu tố.
  • VD: Thử nghiệm tác động của một loại thuốc mới bằng cách chia ngẫu nhiên bệnh nhân thành hai nhóm, một nhóm dùng thuốc và một nhóm dùng giả dược.
• Retrospective study: Nghiên cứu dựa trên dữ liệu trong quá khứ.
  • VD: Nghiên cứu mối liên hệ giữa hút thuốc và ung thư phổi bằng cách phân tích hồ sơ y tế của bệnh nhân đã được chẩn đoán trong quá khứ.
• Prospective study: Nghiên cứu theo dõi đối tượng trong tương lai.
  • VD: Theo dõi một nhóm người không hút thuốc trong 20 năm để xem liệu họ có phát triển bệnh tim hay không.

• Kiểm soát chất lượng sản phẩm
• Tối ưu hóa quy trình sản xuất
• Phân tích độ tin cậy hệ thống
• Dự đoán tuổi thọ thiết bị
• Thiết kế và phân tích thí nghiệm

Random experiment (Thí nghiệm ngẫu nhiên)

Là một thực nghiệm để dẫn tới những kết quả khả thi.

Sample space (Không gian mẫu)

Chứa tất cả những kết quả có khả năng xảy ra, ký hiệu là S.

Tree diagram (Biểu đồ cây)

Không gian mẫu có thể được biểu diễn dạng biểu đồ cây.

Ví dụ: Tung 1 đồng xu sau đó tung tiếp 1 cái xúc xắc

Event (Biến cố)

Tập con của không gian mẫu.

Set Operations (Phép toán tập hợp)

• Union (hợp): A ∪ B, đúng khi nằm trong A hoặc B hoặc cả hai

• Intersection (giao): A ∩ B, đúng khi nằm trong cả hai

• Complement (phần bù): A', ngược lại với A

Counting techniques (Kỹ thuật đếm)

Multiplication Rule (Quy tắc nhân)

Trong một quy trình gồm nhiều bước, nếu mỗi bước có một số lựa chọn nhất định, tổng số cách thực hiện toàn bộ quy trình được tính bằng tích của số lựa chọn ở mỗi bước.

Hiển thị ví dụ

Question: Ta có 4 cái áo khác nhau và 3 cái quần khác nhau trong tủ đồ. Có bao nhiêu cách để tạo ra 1 bộ đồ đủ áo và quần.

Answer:

Tổng số mã sản phẩm có thể có là:

4 x 3 = 12 bộ

Giải thích: Mỗi cách chọn 1 cái áo đều có 3 cách chọn quần. Ta có thể hiểu quy tắc nhân là phép nhân các bước chọn để đạt được kết quả.

Permutations (Hoán vị)

Hoán vị đề cập đến số cách sắp xếp một tập hợp các phần tử theo một thứ tự cụ thể. Khi chọn r phần tử từ n phần tử và quan tâm đến thứ tự, ta sử dụng công thức nPr. Điều này thường áp dụng trong các tình huống như sắp xếp người trong một hàng hoặc chọn các vị trí trong một đội.

Hiển thị ví dụ

Question: Có bao nhiêu cách để sắp xếp 3 cuốn sách trên kệ nếu chúng ta có 5 cuốn sách khác nhau để chọn?

Answer:

Công thức tính hoán vị:

\[nPr = \frac{n!}{(n-r)!}\]

Trong đó:

• n là tổng số phần tử
• r là số phần tử cần sắp xếp

• Ta cần chọn 3 cuốn sách từ 5 cuốn sách và sắp xếp chúng theo thứ tự.
• Sử dụng công thức hoán vị: nPr = n! / (n-r)!
• Trong trường hợp này, n = 5 (tổng số sách) và r = 3 (số sách cần chọn và sắp xếp)
• Số cách sắp xếp 3 cuốn sách là: 5P3 = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 * 4 * 3 = 60

Kết luận: Có 60 cách khác nhau để sắp xếp 3 cuốn sách trên kệ.

Combination (Tổ hợp)

Tổ hợp liên quan đến việc chọn một nhóm phần tử từ một tập hợp lớn hơn mà không quan tâm đến thứ tự. Khi chọn r phần tử từ n phần tử mà không cần quan tâm đến thứ tự, ta sử dụng công thức nCr. Điều này thường được áp dụng trong các tình huống như chọn một nhóm người từ một tập hợp lớn hơn để thực hiện một nhiệm vụ, trong đó vai trò cụ thể của từng người không quan trọng.

Hiển thị ví dụ

Question: Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 10 học sinh giỏi. Chúng ta chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia cuộc thi. Tính xác suất cả 3 học sinh được chọn đều là học sinh giỏi.

Answer:

Để giải quyết bài toán này, ta sử dụng tổ hợp để tính:

• Số cách chọn 3 học sinh giỏi từ 10 học sinh giỏi
• Số cách chọn bất kỳ 3 học sinh từ 30 học sinh

Công thức tính tổ hợp:

\[nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]

Trong đó:

• n là tổng số phần tử
• r là số phần tử cần chọn

Bước 1: Tính số cách chọn 3 học sinh giỏi từ 10 học sinh giỏi

10C3 = 10! / (3! * 7!) = 120

Bước 2: Tính số cách chọn bất kỳ 3 học sinh từ 30 học sinh

30C3 = 30! / (3! * 27!) = 4060

Bước 3: Tính xác suất cả 3 học sinh được chọn đều là học sinh giỏi

P(cả 3 học sinh đều là học sinh giỏi) = 120 / 4060 ≈ 0.0296

Kết luận: Xác suất cả 3 học sinh được chọn đều là học sinh giỏi là khoảng 2.96%.

Xác suất của một biến cố trong một phép thử với n khả năng xảy ra như nhau là 1/n.

\[P(A) = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{tổng số trường hợp có thể xảy ra}}\]

Quy tắc cộng xác suất cho hai sự kiện A và B:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Xác suất có điều kiện của sự kiện B khi biết A đã xảy ra:

\[P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\]

Nếu A và B là hai sự kiện độc lập:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

Nếu A và B là hai sự kiện độc lập:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

\[P(A|B) = P(A) \]

\[P(B|A) = P(B) \]

Nếu A và B là hai sự kiện xung khắc:

\[P(A \cap B) = 0\]

Quy tắc nhân xác suất:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)\]

Total Probability Rules:

Phân chia sự kiện thành các phần xung khắc nhau (Tức là A và A' ko thể diễn ra đồng thời)

Với mọi sự kiện A và B

\[P(B) = P(B |A) \cdot P(A) + P(B |A') \cdot P(A')\]

Câu hỏi: Tương tự ở trên.
Tìm xác suất viên bi thứ hai là màu xanh dương?

Answer:

Sẽ bằng tổng xác suất lần đầu bốc được bi xanh dương và sau đó bốc được bi xanh dương cộng với lần đầu bốc được bi xanh lá và lần sau bốc được bi xanh dương.

\[P(second là xanh dương) = P(B) = P(A) \cdot P(B |A) + P(A') \cdot P(B |A') = \frac{2}{6} \times \frac{4}{5} + \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{2}{3} \]

Công thức Bayes:

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\]

Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete Random Variables) là một loại biến ngẫu nhiên có thể nhận một số lượng giá trị đếm được hoặc hữu hạn trong một khoảng xác định.

Các công thức quan trọng:

• Mean (Kỳ vọng):
  \[E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)\]
• Variance (Phương sai):
  \[V(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i) = E(X^2) - [E(X)]^2\]
• Tính chất tuyến tính của kỳ vọng:
  \[E(aX + bY) = a \cdot E(X) + b \cdot E(Y)\]
• Tính chất của phương sai:
  \[V(aX + b) = a^2 \cdot V(X)\]

Hàm khối xác suất (Probability Mass Function - PMF):

Hàm phân phối tích lũy (Cumulative Distribution Function - CDF):

Các tính chất quan trọng của CDF:

• \(0 \leq F(x) \leq 1\) với mọi x
• \(F(-\infty) = 0\) và \(F(\infty) = 1\)
• \(F(x)\) là hàm không giảm
• \(P(a < X \leq b)=F(b) - F(a)\)

1. Phân phối đều rời rạc (Discrete Uniform Distribution)

• \[P(X = x_i) = \frac{1}{n} \text{ với mọi } i = 1, 2, ..., n\]

  Note: n là số lượng kết quả có thể xảy ra

• Mean:
  \[E(X) = \frac{a + b}{2}\]

  Note: a là giá trị nhỏ nhất, b là giá trị lớn nhất của X

• Variance:
  \[V(X) = \frac{(b - a + 1)^2 - 1}{12}\]

2. Phân phối nhị thức (Binomial Distribution)

• \[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, ..., n\]

  Note: n là số lần thử nghiệm, k là số lần thành công, p là xác suất thành công mỗi lần thử

• Mean:
  \[E(X) = np\]
• Variance:
  \[V(X) = np(1-p)\]

3. Phân phối Poisson (Poisson Distribution)

• \[P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, ...\]

  Note: λ (lambda) là tham số của phân phối, k là số lần sự kiện xảy ra

• Mean:
  \[E(X) = \lambda\]
• Variance:
  \[V(X) = \lambda\]

4. Phân phối siêu bội (Hypergeometric Distribution)

• \[P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad \max(0, n+K-N) \leq k \leq \min(n, K)\]

  Note: N là tổng số phần tử, K là số phần tử thành công, n là số phần tử được chọn, k là số phần tử thành công trong mẫu

• Mean:
  \[E(X) = n\frac{K}{N}\]
• Variance:
  \[V(X) = n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}\]

5. Phân phối hình học (Geometric Distribution)

• \[P(X = k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, ...\]

  Note: p là xác suất thành công mỗi lần thử, k là số lần thử cho đến khi thành công lần đầu

• Mean:
  \[E(X) = \frac{1}{p}\]
• Variance:
  \[V(X) = \frac{1-p}{p^2}\]

6. Phân phối nhị thức âm (Negative Binomial Distribution)

• \[P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, \quad k = r, r+1, r+2, ...\]

  Note: p là xác suất thành công mỗi lần thử, r là số lần thành công cần đạt được, k là tổng số lần thử

• Mean:
  \[E(X) = \frac{r}{p}\]
• Variance:
  \[V(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}\]

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên có một khoảng các số thực cho các khả năng của nó.

Ví dụ: Tốc độ xe có thể đạt được trong khoảng 0-50km/h, bao gồm mọi giá trị như 40.00001, 25, 36.9999, ...

Định nghĩa: \(f(x)\) là hàm mật độ xác suất (probability density function - PDF) của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu:

\(f(x) \geq 0\) với mọi x
\(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1\)
\(P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)dx\)

Đặc điểm quan trọng:

• Hàm mật độ xác suất là hàm liên tục, khác với hàm khối xác suất của biến rời rạc.
• Xác suất để X nhận một giá trị cụ thể luôn bằng 0. Ví dụ: \(P(X = a) = 0\) với mọi a.
• Xác suất thường được tính theo khoảng, bằng tích phân của hàm mật độ xác suất trong khoảng đó:

\(P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)dx\)

Điều này tương đương với diện tích dưới đường cong của f(x) từ a đến b.

Lưu ý quan trọng: Trong biến ngẫu nhiên liên tục, dấu "<" và "≤" tương đương nhau. Ví dụ:

\(P(a < X < b)=P(a \leq X \leq b)=P(a < X \leq b)=P(a \leq X < b)\)

Điều này là do xác suất tại một điểm cụ thể luôn bằng 0.

Hàm phân bố tích lũy F(x) biểu thị xác suất \(X \leq x\).

Công thức: \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt\)

Xác suất trong khoảng: \(P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)\)

Mean (Kỳ vọng): \(E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx\)

Variance (Phương sai): \(Var(X) = E[(X - \mu)^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2f(x)dx\)

Standard deviation (Độ lệch chuẩn): \(\sigma = \sqrt{Var(X)}\)

Hàm phân bố: \(f(x) = \frac{1}{b - a}\) for \(a \leq x \leq b\)

Mean: \(\mu = \frac{a + b}{2}\)

Variance: \(\sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12}\)

Hàm tích lũy: \(F(x) = \frac{x - a}{b - a}\) for \(a \leq x \leq b\)

Phân bố chuẩn: \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)

Mean: \(\mu\)

Variance: \(\sigma^2\)

Standard Normal Distribution: \(Z \sim N(0, 1)\)

Chuyển đổi: \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)

a. Xấp xỉ chuẩn cho phân phối nhị thức

Áp dụng khi \(np > 5\) và \(n(1-p) > 5\)

Binomial: \(\mu = np\), \(\sigma^2 = np(1 - p)\)

Biến đổi chuẩn hóa: \(Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}\)

Hiệu chỉnh liên tục:

• \(P(X_{Binomial} \leq a) = P(X_{Normal} \leq a + 0.5)\)
• \(P(X_{Binomial} \geq a) = P(X_{Normal} \geq a - 0.5)\)

b. Xấp xỉ chuẩn cho phân phối Poisson

Áp dụng khi \(\lambda > 5\)

Poisson: \(\mu = \lambda\), \(\sigma^2 = \lambda\)

Biến đổi chuẩn hóa: \(Z = \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}}\)

Hiệu chỉnh liên tục:

• \(P(X_{Poisson} \leq a) = P(X_{Normal} \leq a + 0.5)\)
• \(P(X_{Poisson} \geq a) = P(X_{Normal} \geq a - 0.5)\)

Lưu ý: Hiệu chỉnh liên tục (+0.5 hoặc -0.5) được áp dụng để cải thiện độ chính xác của xấp xỉ.

Hàm phân bố xác suất: \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) for \(x \geq 0\)

Mean: \(1/\lambda\)

Variance: \(1/\lambda^2\)

Cho một mẫu gồm n quan sát: x₁, x₂, x₃, ..., x_n. Các đại lượng thống kê mô tả quan trọng bao gồm:

1. Sample mean (Trung bình mẫu):

\(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}\)

Ý nghĩa: Đại diện cho giá trị trung tâm của dữ liệu.

2. Sample variance (Phương sai mẫu):

\(s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\)

Ý nghĩa: Đo lường mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình.

3. Sample standard deviation (Độ lệch chuẩn mẫu):

\(s = \sqrt{s^2}\)

Ý nghĩa: Đo lường mức độ phân tán của dữ liệu, có cùng đơn vị với dữ liệu gốc.

4. Sample range (Khoảng mẫu):

Range = max(x_i) - min(x_i)

Ý nghĩa: Đo lường khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong mẫu.

5. Coefficient of variation (Hệ số biến thiên):

CV = \(\frac{s}{\bar{x}} \times 100\%\)

Ý nghĩa: So sánh độ phân tán tương đối giữa các bộ dữ liệu có đơn vị khác nhau.

Stem-and-Leaf Diagrams:

Biểu đồ Stem-and-Leaf là một phương pháp trực quan hóa dữ liệu, chia thành phần "stem" (thân) và "leaf" (lá). Nó giúp hiển thị phân phối và cấu trúc của dữ liệu một cách hiệu quả.

Các Đại Lượng Thống Kê Quan Trọng:

1. Sample median (Trung vị mẫu):

Giá trị nằm giữa của dữ liệu đã sắp xếp. Với n số:

• Nếu n lẻ: median là số thứ (n+1)/2
• Nếu n chẵn: median là trung bình của hai số giữa

2. Sample mode (Mốt mẫu):

Giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dữ liệu. Một tập dữ liệu có thể có nhiều hơn một mốt.

3. Quartiles (Tứ phân vị - Cái này Xài CASIO 580 chạy ngon nhé):

• Q1 (25%): Giá trị chia dữ liệu sao cho 25% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó
• Q2 (50%): Chính là median
• Q3 (75%): Giá trị chia dữ liệu sao cho 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó

4. Interquartile range (IQR - Khoảng tứ phân vị):

IQR = Q3 - Q1

IQR là một thước đo về độ phân tán của dữ liệu và ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai.

5. Percentiles (Phân vị):

Giá trị chia dữ liệu thành 100 phần bằng nhau. Ví dụ, phân vị thứ 90 là giá trị mà 90% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó.

                                6 | 5
                                7 | 0 5
                                8 | 0 2 3 5 5 8
                                9 | 0 0 2 5 8
                                10| 0
                            

Frequency Distribution:

Frequency distribution là cách tổ chức và tóm tắt dữ liệu bằng cách nhóm các giá trị thành các khoảng và đếm số lượng quan sát trong mỗi khoảng.

Relative Frequency Distribution:

Relative frequency distribution cho biết tỷ lệ hoặc phần trăm của các quan sát trong mỗi khoảng.

Relative frequency = Frequency / Total number of observations

Cumulative Frequency Distribution:

Cumulative frequency distribution hiển thị tổng tích lũy của các tần số hoặc tần số tương đối từ khoảng thấp nhất đến khoảng cao nhất.

Histogram:

Histogram là biểu đồ cột thể hiện frequency distribution. Chiều cao của mỗi cột tương ứng với tần số hoặc tần số tương đối của khoảng đó.

Lưu ý quan trọng:

• Số lượng khoảng (bins) ảnh hưởng đến hình dạng của histogram. Quá ít khoảng có thể che giấu chi tiết, quá nhiều khoảng có thể tạo ra nhiễu.
• Histogram giúp nhận biết hình dạng phân phối (đối xứng, lệch phải, lệch trái, đa phương thức).
• So với box plot, histogram cung cấp thông tin chi tiết hơn về phân phối dữ liệu.

Box plot là một công cụ trực quan hóa dữ liệu, giúp phân tích phân phối của tập dữ liệu và xác định các điểm ngoại lai (outliers). Nó thể hiện các quartiles của dữ liệu và giúp người dùng dễ dàng so sánh phân phối giữa các nhóm khác nhau.

Công thức tổng quát để tính toán các giá trị tóm tắt trong box plot:

• Q1: Quartile thứ nhất (25th percentile) - giá trị tại vị trí 25% trong dữ liệu.
• Q2: Quartile thứ hai (50th percentile hoặc median) - giá trị ở giữa của tập dữ liệu.
• Q3: Quartile thứ ba (75th percentile) - giá trị tại vị trí 75% trong dữ liệu.
• IQR (Interquartile Range): Q3 - Q1, đo độ phân tán giữa Q1 và Q3.
• Đầu mút trên: min(max(data), Q3 + 1.5*IQR) - giới hạn tối đa cho dữ liệu.
• Đầu mút dưới: max(min(data), Q1 - 1.5*IQR) - giới hạn tối thiểu cho dữ liệu.

Các điểm nằm ngoài khoảng (Đầu mút dưới, Đầu mút trên) được coi là outliers.

7.1 Sampling Distribution of the Mean

Cho quần thể có trung bình \(\mu\) và phương sai \(\sigma^2\). Kích thước mẫu n.

Nếu quần thể có phân phối chuẩn hoặc n > 30:

Phân phối của \(\bar{X}\) có dạng: \(N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})\)

7.2 Sampling Distribution of the Difference in Means

Phân phối của \(\bar{X}_1 - \bar{X}_2\) có dạng: \(N(\mu_1 - \mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2})\)

7.3 Sampling Distribution of the Proportion

Cho tỷ lệ quần thể p, kích thước mẫu n. (np ≥ 5 hoặc n(1-p) ≥ 5):

Phân phối của \(\hat{P}\) có dạng: \(N(P, \frac{P(1-P)}{n})\)

7.4 Sampling Distribution of the Difference in Proportions

Phân phối của \(\hat{P}_1 - \hat{P}_2\) có dạng: \(N(P_1 - P_2, \frac{P_1(1-P_1)}{n_1} + \frac{P_2(1-P_2)}{n_2})\)

7.5 Central Limit Theorem

Cho quần thể có trung bình \(\mu\) và phương sai \(\sigma^2\), và \(\bar{X}\) là trung bình mẫu. Ta có:

\(Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)

• Nếu quần thể có phân phối chuẩn, mẫu cũng có phân phối chuẩn.
• Nếu quần thể không có phân phối chuẩn, mẫu sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn nếu n ≥ 30.

7.6 Point Estimation

Trung bình mẫu \(\bar{X}\) và phương sai mẫu \(S^2\) là các thống kê mẫu (statistics).

• \(\bar{X}\) là ước lượng điểm của trung bình quần thể \(\mu\)
• \(S^2\) là ước lượng điểm của phương sai quần thể \(\sigma^2\)

Khoảng tin cậy (confidence interval) là một khoảng giá trị được tính toán từ dữ liệu mẫu, nhằm ước lượng giá trị thực của một tham số tổng thể với một mức độ tin cậy nhất định. Mức độ tin cậy thường được biểu thị bằng \(1 - \alpha\), trong đó \(\alpha\) là mức ý nghĩa.

Cụ thể, khoảng tin cậy cho tham số \(\mu\) có dạng:

Trong đó:

• L: Giới hạn dưới của khoảng tin cậy (Lower confidence limit)
• U: Giới hạn trên của khoảng tin cậy (Upper confidence limit)

Để ước lượng trung bình tổng thể \(\mu\), chúng ta sẽ xem xét ba trường hợp sau:

1. Phương sai tổng thể \(\sigma^2\) đã biết và phân phối chuẩn.
2. Phân phối bất kỳ với kích thước mẫu lớn (\(n \geq 40\)).
3. Phương sai tổng thể \(\sigma^2\) chưa biết nhưng phân phối chuẩn.

Trường hợp 1: Phương sai tổng thể \(\sigma^2\) đã biết

Khi tổng thể có phân phối chuẩn và phương sai \(\sigma^2\) đã biết, khoảng tin cậy mức \(1 - \alpha\) cho \(\mu\) được tính bằng công thức:

Trong đó:

• \(\bar{x}\): Trung bình mẫu
• \(\sigma\): Độ lệch chuẩn tổng thể (đã biết)
• \(n\): Kích thước mẫu
• \(z_{\alpha/2}\): Giá trị tới hạn của phân phối chuẩn, sao cho \(P(Z > z_{\alpha/2}) = \alpha/2\)

Tính kích thước mẫu cần thiết

Để đạt được một sai số ước lượng tối đa \(E\) với mức tin cậy \(1 - \alpha\), kích thước mẫu cần thiết \(n\) được tính bằng:

Trường hợp 2: Phân phối bất kỳ với kích thước mẫu lớn (\(n \geq 40\))

Khi phân phối tổng thể không biết hoặc không phải là phân phối chuẩn, nhưng kích thước mẫu đủ lớn (\(n \geq 40\)), chúng ta sử dụng định lý giới hạn trung tâm và công thức khoảng tin cậy sau:

Trong đó:

• \(s\): Độ lệch chuẩn mẫu

Trường hợp 3: Phương sai tổng thể \(\sigma^2\) chưa biết, phân phối chuẩn

Khi tổng thể có phân phối chuẩn nhưng \(\sigma^2\) chưa biết, chúng ta sử dụng phân phối t Student với \(n - 1\) bậc tự do. Công thức khoảng tin cậy mức \(1 - \alpha\) cho \(\mu\) là:

Trong đó:

• \(t_{\alpha/2, n-1}\): Giá trị tới hạn từ phân phối t với \(n - 1\) bậc tự do

Khi muốn ước lượng tỷ lệ (xác suất) tổng thể \(p\), đặc biệt trong các bài toán nhị phân (thành công/thất bại), chúng ta sử dụng khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể.

Công thức khoảng tin cậy mức \(1 - \alpha\) cho \(p\) là:

Trong đó:

• \(\hat{p} = \dfrac{x}{n}\): Tỷ lệ mẫu (số trường hợp thành công chia cho kích thước mẫu)
• \(n\): Kích thước mẫu
• \(z_{\alpha/2}\): Giá trị tới hạn của phân phối chuẩn

Trong một số tình huống, chúng ta chỉ quan tâm đến giới hạn trên hoặc giới hạn dưới của tham số tổng thể. Khi đó, chúng ta sử dụng khoảng tin cậy một phía.

Khoảng tin cậy một phía dưới:

Khoảng tin cậy một phía trên:

Lưu ý: Trong khoảng tin cậy một phía, chúng ta sử dụng \(z_{\alpha}\) thay vì \(z_{\alpha/2}\) như trong khoảng tin cậy hai phía.

Kiểm định giả thuyết là quá trình sử dụng dữ liệu mẫu để đánh giá tính đúng đắn của một phát biểu cụ thể về tham số của tổng thể. Thông qua việc kiểm định giả thuyết, chúng ta có thể xác định xem dữ liệu thu thập được có cung cấp đủ bằng chứng để bác bỏ giả thuyết ban đầu hay không.

Các thành phần chính của kiểm định giả thuyết:

• Giả thuyết không (Null Hypothesis, H₀): Đây là giả thuyết ban đầu mà chúng ta giả định là đúng. Thường thì H₀ biểu thị rằng không có sự khác biệt hoặc không có hiệu ứng nào đáng kể.
• Giả thuyết thay thế (Alternative Hypothesis, H₁ hoặc H_a): Đây là giả thuyết đối lập với H₀, biểu thị rằng có sự khác biệt hoặc có hiệu ứng đáng kể.

Quá trình kiểm định giả thuyết bao gồm các bước sau:

1. Xác định giả thuyết: Đặt ra H₀ và H₁.
2. Chọn mức ý nghĩa (α): Mức ý nghĩa thường được chọn là 0.05 hoặc 0.01, biểu thị xác suất mắc lỗi loại I chấp nhận được.
3. Tính toán thống kê kiểm định: Sử dụng dữ liệu mẫu để tính giá trị thống kê kiểm định.
4. Xác định vùng bác bỏ: Dựa trên mức ý nghĩa và phân phối của thống kê kiểm định.
5. Ra quyết định: So sánh giá trị thống kê kiểm định với vùng bác bỏ để quyết định bác bỏ hoặc không bác bỏ H₀.

Lỗi trong kiểm định giả thuyết:

• Lỗi loại I (Type I Error): Bác bỏ H₀ khi nó đúng. Xác suất mắc lỗi loại I chính là mức ý nghĩa α.
• Lỗi loại II (Type II Error): Không bác bỏ H₀ khi nó sai. Xác suất mắc lỗi loại II được ký hiệu là β.

Trong ví dụ này, chúng ta muốn kiểm tra xem thời gian làm việc trung bình thực tế có khác biệt so với 8 giờ hay không dựa trên dữ liệu mẫu thu thập được.

Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung vào việc kiểm định giả thuyết về trung bình của tổng thể khi dữ liệu tuân theo phân phối chuẩn.

Trường hợp 1: Phương sai tổng thể (σ²) đã biết

Khi phương sai tổng thể được biết, chúng ta sử dụng thống kê kiểm định Z:

Trong đó:

• \(\bar{X}\): Trung bình mẫu
• \(\mu_0\): Giá trị giả định của trung bình tổng thể theo H₀
• \(\sigma\): Độ lệch chuẩn của tổng thể (đã biết)
• n: Kích thước mẫu

Quy tắc quyết định:

• Với kiểm định hai phía (H₁: μ ≠ μ₀): Bác bỏ H₀ nếu |Z| > Z_α/2
• Với kiểm định một phía:
  • H₁: μ > μ₀: Bác bỏ H₀ nếu Z > Z_α
  • H₁: μ < μ₀: Bác bỏ H₀ nếu Z < -Z_α

Trường hợp 2: Phương sai tổng thể (σ²) chưa biết

Khi phương sai tổng thể chưa biết, chúng ta sử dụng thống kê kiểm định t với độ tự do df = n - 1:

Trong đó:

• s: Độ lệch chuẩn mẫu

Quy tắc quyết định:

• Với kiểm định hai phía: Bác bỏ H₀ nếu |t| > t_{α/2, n-1}
• Với kiểm định một phía:
  • H₁: μ > μ₀: Bác bỏ H₀ nếu t > t_{α, n-1}
  • H₁: μ < μ₀: Bác bỏ H₀ nếu t < -t_{α, n-1}

Khi muốn kiểm định giả thuyết về tỷ lệ (proportion) của tổng thể, chúng ta sử dụng thống kê kiểm định Z như sau:

Trong đó:

• \(\hat{p}\): Tỷ lệ mẫu (số thành công trong mẫu chia cho kích thước mẫu)
• p₀: Tỷ lệ giả định của tổng thể theo H₀
• n: Kích thước mẫu

Quy tắc quyết định:

• Với kiểm định hai phía: Bác bỏ H₀ nếu |Z| > Z_α/2
• Với kiểm định một phía:
  • H₁: p > p₀: Bác bỏ H₀ nếu Z > Z_α
  • H₁: p < p₀: Bác bỏ H₀ nếu Z < -Z_α

Khi so sánh hai tổng thể, chúng ta quan tâm đến hiệu của hai trung bình \(\mu_1 - \mu_2\). Chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp:

1. Phương sai tổng thể \(\sigma^2_1\) và \(\sigma^2_2\) đã biết.
2. Phương sai tổng thể chưa biết nhưng giả định là bằng nhau.

Trường hợp 1: Phương sai tổng thể đã biết

Khi phương sai tổng thể đã biết và các tổng thể có phân phối chuẩn, hiệu của hai trung bình mẫu \(\bar{x}_1 - \bar{x}_2\) tuân theo phân phối chuẩn với kỳ vọng và phương sai như sau:

Do đó, khoảng tin cậy mức \(1 - \alpha\) cho hiệu \(\mu_1 - \mu_2\) được tính bằng:

Trường hợp 2: Phương sai tổng thể chưa biết nhưng bằng nhau

Khi phương sai tổng thể chưa biết nhưng có thể giả định là bằng nhau (\(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\)), chúng ta sử dụng ước lượng phương sai gộp (pooled variance estimator) từ hai mẫu:

Trong đó \(s_1^2\) và \(s_2^2\) là phương sai mẫu của hai mẫu. Khoảng tin cậy mức \(1 - \alpha\) cho \(\mu_1 - \mu_2\) là:

Trong kiểm định giả thuyết về hiệu của hai trung bình, chúng ta muốn kiểm tra xem liệu có sự khác biệt đáng kể giữa hai trung bình tổng thể hay không. Giả thuyết được đặt ra như sau:

Trong đó \(\Delta_0\) là giá trị giả định cho hiệu của hai trung bình (thường là 0).

Trường hợp 1: Phương sai tổng thể đã biết

Thống kê kiểm định Z được tính như sau:

Quy tắc quyết định:

• Kiểm định hai phía: Bác bỏ \(H_0\) nếu \(|Z| > Z_{\alpha/2}\)
• Kiểm định một phía:
  • \(H_1: \mu_1 - \mu_2 > \Delta_0\): Bác bỏ \(H_0\) nếu \(Z > Z_{\alpha}\)
  • \(H_1: \mu_1 - \mu_2 < \Delta_0\): Bác bỏ \(H_0\) nếu \(Z < -Z_{\alpha}\)

Trường hợp 2: Phương sai tổng thể chưa biết nhưng bằng nhau

Thống kê kiểm định t được tính như sau:

Trong đó \(s_p\) là ước lượng phương sai gộp, bậc tự do \(df = n_1 + n_2 - 2\).

Quy tắc quyết định tương tự như trên, sử dụng giá trị tới hạn từ phân phối t.

Khi so sánh tỷ lệ (xác suất) giữa hai tổng thể, chúng ta quan tâm đến hiệu \(p_1 - p_2\). Khoảng tin cậy mức \(1 - \alpha\) cho hiệu của hai tỷ lệ được tính như sau:

Trong đó \(\hat{p}_1\) và \(\hat{p}_2\) là tỷ lệ mẫu của hai mẫu.

Kiểm định Giả thuyết về Hiệu của Hai Tỷ lệ

Giả thuyết kiểm định thường là:

Thống kê kiểm định Z được tính như sau:

Trong đó \(\hat{p}\) là tỷ lệ gộp:

Với \(x_1\) và \(x_2\) là số trường hợp thành công trong hai mẫu.

Quy tắc quyết định:

• Kiểm định hai phía: Bác bỏ \(H_0\) nếu \(|Z| > Z_{\alpha/2}\)
• Kiểm định một phía:
  • \(H_1: p_1 - p_2 > 0\): Bác bỏ \(H_0\) nếu \(Z > Z_{\alpha}\)
  • \(H_1: p_1 - p_2 < 0\): Bác bỏ \(H_0\) nếu \(Z < -Z_{\alpha}\)

Mô hình thực nghiệm được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa hai biến số thông qua dữ liệu thực tế. Chúng ta quan tâm đến việc xác định xem liệu một biến có thể được dự đoán từ biến khác hay không.

Biến Độc lập và Biến Phụ thuộc

• Biến độc lập (Independent variable, \(X\)): Biến mà chúng ta sử dụng để dự đoán giá trị của biến khác.
• Biến phụ thuộc (Dependent variable, \(Y\)): Biến mà chúng ta muốn dự đoán.

Mô hình Hồi quy Tuyến tính

Mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản có dạng:

Trong đó:

• \(\beta_0\): Hệ số chặn (Intercept)
• \(\beta_1\): Hệ số góc (Slope)
• \(\varepsilon\): Sai số ngẫu nhiên (Random error)

Mục tiêu của chúng ta là ước lượng các tham số \(\beta_0\) và \(\beta_1\) sao cho mô hình phù hợp nhất với dữ liệu quan sát.

Chúng ta có một tập dữ liệu gồm \(n\) cặp quan sát \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)\). Mục tiêu là tìm đường thẳng tốt nhất (best-fit line) để mô tả mối quan hệ giữa \(X\) và \(Y\).

Phương pháp Bình phương Nhỏ nhất (Least Squares Method)

Phương pháp bình phương nhỏ nhất được sử dụng để ước lượng các tham số \(\beta_0\) và \(\beta_1\) bằng cách tối thiểu hóa tổng bình phương sai số giữa giá trị thực tế và giá trị dự đoán:

Trong đó:

• \(y_i\): Giá trị thực tế của biến phụ thuộc.
• \(\hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i\): Giá trị dự đoán từ mô hình.
• \(\text{SSE}\): Tổng bình phương sai số (Sum of Squared Errors).

Ước lượng các Tham số Hồi quy

Các ước lượng cho \(\beta_1\) và \(\beta_0\) được tính như sau:

Trong đó:

• \(\bar{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\): Trung bình của biến độc lập.
• \(\bar{y} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i\): Trung bình của biến phụ thuộc.

Đường Hồi quy Tuyến tính Ước lượng

Phương trình hồi quy tuyến tính ước lượng là:

Sai số Dư (Residuals)

Sai số dư đại diện cho phần sai lệch giữa giá trị thực tế và giá trị dự đoán:

Tổng bình phương sai số dư được tính bằng:

Ước lượng Phương sai của Sai số

Ước lượng cho phương sai của sai số (\(\sigma^2\)) là:

Với \(n - 2\) là bậc tự do (degrees of freedom).

Các ước lượng \(\hat{\beta}_0\) và \(\hat{\beta}_1\) có các tính chất quan trọng, bao gồm tính không chệch và tính hiệu quả.

Ước lượng Sai số Chuẩn của Hệ số Hồi quy

Ước lượng sai số chuẩn của \(\hat{\beta}_1\) và \(\hat{\beta}_0\) được tính như sau:

Trong đó \(s\) là ước lượng của độ lệch chuẩn của sai số (\(\varepsilon\)).

Khoảng Tin cậy cho Hệ số Hồi quy

Có thể xây dựng khoảng tin cậy cho \(\beta_1\) và \(\beta_0\) như sau:

Với \(t_{\alpha/2, n-2}\) là giá trị tới hạn từ phân phối t Student với \(n - 2\) bậc tự do.

Chúng ta có thể kiểm định giả thuyết về các tham số \(\beta_1\) và \(\beta_0\) để xác định xem biến độc lập \(X\) có ảnh hưởng đáng kể đến biến phụ thuộc \(Y\) hay không.

Kiểm định trên Hệ số Góc (\(\beta_1\))

Giả thuyết:

Thường thì \(\beta_{1,0} = 0\), tức là kiểm tra xem có mối quan hệ tuyến tính giữa \(X\) và \(Y\) hay không.

Thống kê kiểm định:

Quy tắc quyết định:

• Bác bỏ \(H_0\) nếu \(|t| > t_{\alpha/2, n - 2}\)

Kiểm định trên Hệ số Chặn (\(\beta_0\))

Giả thuyết:

Thống kê kiểm định:

Quy tắc quyết định:

• Bác bỏ \(H_0\) nếu \(|t| > t_{\alpha/2, n - 2}\)

Hệ số tương quan đo lường mức độ và hướng của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến.

Hệ số Tương quan Mẫu (\(r\))

Hệ số tương quan mẫu được tính bằng:

Tính chất của \(r\):

• \(-1 \leq r \leq 1\)
• Nếu \(r > 0\): Mối quan hệ đồng biến (khi \(X\) tăng, \(Y\) tăng)
• Nếu \(r < 0\): Mối quan hệ nghịch biến (khi \(X\) tăng, \(Y\) giảm)
• Nếu \(r = 0\): Không có mối quan hệ tuyến tính

Hệ số Xác định (\(r^2\))

Hệ số xác định đo lường tỷ lệ biến thiên của \(Y\) được giải thích bởi mô hình hồi quy:

Giá trị \(r^2\) nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Chúng ta có thể kiểm định giả thuyết về hệ số tương quan tổng thể \(\rho\) để xác định xem mối quan hệ tuyến tính quan sát được có ý nghĩa thống kê hay không.

Kiểm định Giả thuyết

Giả thuyết:

Thống kê kiểm định:

Quy tắc quyết định:

• Bác bỏ \(H_0\) nếu \(|t| > t_{\alpha/2, n - 2}\)